1. 명제와 그들의 결합자
명제(statement)란 참이거나 거짓이로되 동시에 양쪽은 아닌 서술문을 뜻한다.
연습문제 1.1
다음 서술은 명제가 되는가?
1. 1441년 1월 7일에 플로리다의 어느 곳엔가 눈이 내렸다.
2. 아리스토텔레스는 평발이었다.
3. 사회주의는 나쁘다.
4. 이 자동차의 값은 얼마입니까?
5. 잔디밭에 들어가지 마시오.
6. 달은 치즈로 만들어졌다.
7. 하늘은 청명하다.
8. 차인표는 나쁜 놈이다.
9. 화성에는 지능을 지닌 생명체가 존재하지 않는다.
10. 2의 제곱근을 소수로 전개할 때 105째 자리수는 7이다.
명제 p,q,r,...을 연결하여 합성명제를 구성하는 기호를 결합자라고 말하고 이 결합자에는 다음과 같은 것이 있다.
가. ∼ "아니다" 나. ∧ "이고, 그리고, and"
다. ∨ " 또는, or" 다. → " ...이면 ..., if...,than... "
라. ↔ " 쌍조건부, 필요충분조건"
명제가 참일 때 T, 거짓일 때 F라 하면 다음과 같은 진리표를 만들 수 있다.
|
|
|
|
p q |
p∧q |
|
p q |
p∨q |
|
|
|
T T |
T |
T T |
T |
||
|
p |
∼p |
T F |
F |
T F |
T |
||
|
T |
F |
F T |
F |
F T |
T |
||
|
F |
T |
F F |
F |
F F |
F |
||
|
표 1 |
표 2 |
표 3 |
|||||
|
p q ∼q p∧ ∼q |
p→q [≡∼(p∧∼q)] |
|
T T F F |
T |
|
T F T T |
F |
|
F T F F |
T |
|
F F T F |
T |
|
표 4 |
|
|
p q p→q q→p |
p↔q [≡∼(p→q ∧ q→p)] |
|
T T T T |
T |
|
T F F T |
F |
|
F T T F |
F |
|
F F T T |
T |
|
표 5 |
|
연습문제 1.2.
다음 각 명제의 진리표를 작성하여라.
1. ∼ (∼p) 2. ∼ [ ∼ (∼ p) ]
3. p∧p 4. ∼(p∧∼p)
5. p∧∼q 6. ∼p∧q
7. (p∧q)∧∼p 8. ∼(p∧q)
9. (p∧∼q)∧r 10. ∼q∧(r∧p)
연습문제 1.3.
다음 명제의 진리표를 작성하라.
1. ∼(p∨∼p) 2. ∼(∼p∨∼q)
3. ∼p∨q 4. (∼q)→(∼p)
5. q↔p 6. p∧(q∨r)
7. (p∧q)∨(p∧r)
*단순명제 또는 합성명제 P,Q 에 대하여 모든 논리적 가능성의 각가의 경우 진리값이 같으면 P와 Q는 논리적 동치(logically equivalent) 또는 간단히 동치(equivalent)라 하고 이것을 P≡Q와 같이 나타낸다.
8. 연습문제 4.는 p→q와 논리적으로 동치인가?
9. 연습문제 3.은 p→q와 논리적으로 동치인가?
10. 고기의 수출이 늘어난다(A). 가축을 더 많이 사육한다(B). 가격이 오른다(C). 라 할 때, "고기의 수출을 늘이거나 가축을 더 많이 사육하지 않으면 가격은 오를 것이다"를 기호A, B, C와 결합자를 써서 나타내라.
* 다음을 기호를 써서 나타내 보아라.
11. 오늘 해가 뜨면 나는 낙시하러 간다. 12. 오늘이 월요일이라는 말은 거짓이다.
13. 오늘은 월요일이거나 목요일이다. 14. 두 짝수의 합은 홀수이거나 짝수이다.
15. 갑돌이는 피자를 싫어하고 갑순이는 보신탕을 싫어한다.
16. 그 직장을 수락하는 필요충분 조건은 봉급이 많은 것이다.
종합정리
1. 문장이 명제가 되는지 안되는지 구별할 수 있는가?
2. 복합명제를 만들 때 쓰는 결합자를 기호로 쓸 수 있는가?
3. 결합자의 진리표를 만들 수 있는가?
4. 모든 문장을 기호와 결합자로 나타낼 수 있으며 그 진리표를 만들 수 있는가?