확률이란 무엇인가?
복권에 당첨될 수 있을까? 놀음에서 돈을 딸 수 있을까? 이런 모든 질문들은 확률에 관계된다. 17세기에 프랑스의 수학자이며 철학자인 파스칼(Pascal, B., 1623-1662)은 실제로 노름을 하는 친구로부터 이런 질문을 받았다. 그는 여러 가지 생각을 한 뒤 당시 같은 프랑스의 수학자였던 페르마(Fermat, Pierre, 1601-1665)와 이 문제에 관하여 서신교환을 하였는데 그 속에는 확률론에 관한 근본적인 내용들이 포함되어 있었다.
비록 이 이론의 시작은 노름에서 딸 우연이 얼마나 되는가 하는 것이었지만 이 확률론은 날이 갈수록 발전하여 현재는 자연과학, 사회과학, 공학, 또 실제적인 사업이나 거래, 일기예보까지 안 쓰이는 곳이 없게 되었다.
먼저 파스칼이 당면했던 문제를 생각해보자.
문제: 가령 능력이 똑 같은 두 도박꾼이 3점 승부(선 3승자가 승리)로 내기를 하는데 각각 32 피스톨씩의 돈을 걸었다. 그런데 승부 도중 그만 두고 돈을 나눈다면 다음과 같은 경우 각각 얼마씩을 받고 그만 두는 것이 맞겠는가?
경우 1. 세 번 경기를 하는 경우 A 2승, B 1승으로 끝났을 때, A는 48 피스톨, B는 16 피스톨을 받는 것이 마땅하다.
이유: A는 1번만 더 이기면 되고 B는 2번을 더 이겨야 된다. A가 이기면 64 전부 그리고 B는 0 피스톨을 받는다. 한편 A가 졌다고 하자 이때는 서로 비겼으므로 각각 본전인 32 피스톨씩을 받게 된다. 따라서 A는 이기나 지나 32 피스톨을 받게 된다. 그리고 다음 승부에 이기게 될 기회는 반반이므로 A에게 먼저 32 피스톨을 주고 나머지 32 피스톨은 서로 반으로 나누어 가지면 된다. 즉
A : 32 + 32/2 = 48, B : 0 + 32/2 = 16
경우 2. 2번 경기를 하여 A 2승 B 0승으로 끝났을 때, A는 56 피스톨, B는 8 피스톨을 받는 것이 마땅하다.
이유: 다음 경기에 A가 이기면 64 피스톨, B는 0 피스톨을 받게 된다. 그러나 지면 경우 1과 같아지므로 48 피스톨을 받는 것이 마땅하다. 따라서 A에게 먼저 48 피스톨을 주고 남은 돈 16 피스톨은 서로 반으로 나누어 갖는 것이 마땅하다. 즉
A : 48 + 16/2 = 56 B : 0 + 16/2 = 8
경우 3. 한 번 경기를 하여 A 1승 B 0승인 경우는 A는 44 피스톨, B는 20 피스톨을 받는 것이 마땅하다.
이유 : 다음 승부에서 A가 이기면 경우 2가 되어 56 피스톨, B는 8 피스톨을 받게 된다. 그러나 지면 동률이 되어 32 피스톨을 받게 된다. 따라서 A에게 32 피스톨, B에게 8 피스톨을 배당하고 나머지 24(=56-32) 피스톨은 서로 나누어 가지면 된다. 즉
A : 32 + 24/2 = 44 B : 8 + 24/2 = 20
이런 문제를 좀더 쉽게 풀 수는 없는가? 확률론은 어떻게 전개되고 있는가?
1. 확률의 정의
먼저 이런 것을 생각해 보자. 지금 고르게 잘 만들어진 동전을 던져서 땅에 떨어질 때 앞면이 나올 가능성을 생각해 보자. 가능성은 1/2 이라고 말하고 싶을 것이다. 정말 그런가? 동전을 10번 던지면 5 번은 앞면이 나올 것인가? 100 번 던지면 어떨까? 1,000 번 아니 10,000 번 던지면 어떨까? 꼭 반이 나온다고 장담할 수는 없다. 그러나 똑 같은 방법으로 던지는 회수가 많아지면 많아질 수록 앞면이 나올 회수는 그 반에 더 가까워질 것이다. 그래서 전체 실험한 회수를 n, 앞면이 나온 회수를 n(H) 라 하면 앞면이 나올 확률은 n(H)/n이라고 했으면 좋겠다. 이렇게 실험을 무한히 반복했을 때 n(H)/n이 접근하는 수를 확률로 정의하는 것을 빈도확률(Frequential probability)이라고 하는데 이는 실험을 무한 번 반복할 수가 없으며 이 빈도확률이 수렴하는 수가 있는지 또 그 수는 참값으로부터 얼마나 틀린지 오차의 한계를 결정할 수가 없는 것이 문제다.
여기서는 엄격한 확률의 정의를 피하고 선험적 확률(a prior probability)이라고 할 수 있는 쉬운 정으로부터 시작하려 한다.
지금 동전을 세 번 던졌다고 하자 앞면을 H, 뒷면을 T라 하면 가능한 모든 방법은 다음과 같다.
Ω = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
이 때 앞면이 2번 나오는 경우는 A = {HHT, HHT, HTH, THH} 이다. 가능한 모든 결과들의 모임 Ω를 표본공간(sample space)이라고 부르고 A와 같은 것을 사건(event)이라고 부른다. 이 때 사건 A는 앞면이 두 번 나오는 것을 말한다. 이 때 거칠게 확률을 정의한다면 이 실험에서 A가 되는 확률 P(A) = n(A)/n(??)로 정의한다..
예1. 지금 호주머니에 100원, 50원, 10원 짜리 동전이 하나씩 들어 있다고 하자. 이때 2개를 차례로 꺼내는 실험에서 10원짜리 동전이 들어 있을 확률은 얼마인가?
표본공간 Ω = {(100, 50), (100,10), (50,100), (50,10), (10,100), (10,50)}
사건 A = {(100,10), (50,10), (10,100), (10,50)}
P(A) = 4/6 = 2/3
* 사건이 모든 경우에 늘 일어날 확률은 1이며 결코 일어나지 않을 확률은 0이다.
문제 1.
1. 한 병원에서 주어진 주일에 20명의 신생아가 태어났는데 그중 11은 아들이었고 9는 딸이었다. 이 병원에서 이주간에 아들이 태어난 빈도 확률은 얼마인가?
2. 주사위를 100 번 던졌는데 그때 눈금과 회수의 관계는 다음과 같았다. (1,14), (2,18), (3,16), (4,15), (5,18), (6,19). 다음 빈도확률을 말해 보라.
가. 눈금 6이 나타날 확률 나. 짝수의 눈금이 나타날 확률
다. 3의 배수의 눈금이 나타날 확률 라. 소수의 눈금이 나타날 확률
3. 사망률 통계에 의하면 12살 짜리 9,781,958 명중 65 세까지 산 사람은 6,800,531명이었다.
12살 사람이 65세까지 살 빈도확률을 구하라.
4. 다음 실험에서 각 표본공간을 써라
가. 처음 주사위를 던지고 두 번 째 동전을 던지는 실험
나. 주사위를 두 번 던지는 실험. 다. 두 번 동전을 던지는 실험
라. 동전을 3번 던지는 실험 마. n 번 동전을 던지는 실험
5. 4번 가의 실험에서
가. 짝수와 동전의 앞면을 얻을 확률 나. 3의배수와 동전의 뒷면이 나올 확률
다. 앞면과 홀수가 나타날 확률 라. 앞면도 홀수도 안 나타날 확률
6. 4번 나의 실험에서
가. 두 눈금의 합이 7이 될 확률 나. 두 눈금의 합이 10 이상이 될 확률
다. 두 눈금의 합이 6 이하가 될 확률 (6 이하는 6을 포함)
7. 두 개의 동전을 동시에 던졌을 때
가. 표본공간을 써라. 나. 둘 다 뒷면이 될 확률
다. 적어도 앞면이 한 번 나올 확률 라. 오직 하나만 앞면일 확률
8 48 장의 화투를 섞어 그중 하나를 뽑았을 때
가. 송학이 나올 확률 나. 20으로 계산하는 광이 나올 확률
다. 송학이나 매화 껍질이 나올 확률 다. 송학도 매화 껍질도 아닐 확률
9. 아들이 날 확률이 1/2라 하자
가. 3 어린애가 있는 가정에서 아들만 3 있을 확률
나. 아들 하나 딸 둘일 확률 다. 딸, 딸, 아들일 확률
10. □x + 2 = 16에서 주사위를 던져 나온 숫자를 네모에 넣는다고 하면 그 방정식이 정수해를 갖기 위한 확률은 얼마냐?
2. 기대값
윷놀이를 예로 들어보자. 도, 개, 걸, 윷, 모가 나올 확률이 각각 0.1, 0.3, 0.4, 0.15, 0.05 인 윷이 있다고 하자. 놀이는 개나 걸이 나오면 1,000원을 잃고, 도가 나오면 1,000원을, 윷이 나오면 2,000원을, 모가 나오면 5,000원을 받는다. 돈을 잃겠는가? 혹은 따겠는가?
개나 걸이 나올 확률은 0.7이다. 따라서 1,000원 잃을 확률은 07이다. 이와 같이 딸 확률도 계산하여 합하면 E(X) = -1,000x0.7 + 1,000x0.1 + 2,000x0.15 + 5,000x0.05 = -50 즉 여러 번 계속하면 50원 잃게 된다는 결론이다. 이와 같이 기대값이란 X의 가능한 값에 그 확률을 곱해 더한 것이다.
예제 2. 동전을 두 개 던질 때 앞면이 2개이면 2,000원 한 개이면 1,000원 0개이면 -1,000원을 받을 때 그 기대값을 구하라.
표본 공간 = { HH, HT, TH, TT} P(앞면이 2개) =1/4, P(앞면이 1개) = 1/2 P(앞면이 0) = 1/4. 따라서 기대값 = 0.25x2,000 + 0.5x1,000 - 0.25x1,000 = 750(원)
문제 2.
1. 주사위를 던져서 나오는 눈금만큼 돈을 받는다 할 때 한 번 던져서 받을 돈의 기대값은 얼마인가?
2. 주사위를 던져서 1이나 2나 3의 눈금이 나오면 50원, 4나 5의 눈금이 나오면 60원, 6의 눈금이 나오면 300원을 받는 게임에서 경기자가 한 번 경기에서 받을 수 있는 기대값은 얼마인가?
3. 상자 속에 반지름이 1,2,3,4,5인 5장의 디스크가 들어 있다. 이 상자로부터 임의로 꺼낸 디스크의 면적의 기대값을 구하라.
4. 어떤 관광회사에서는 추석연휴 3박4일의 제주도 실버관광 회원을 모집하고 6개월 전에 호텔에 예약을 해 놓으려고 한다. 경험에 의하면 이 상품에 예약하는 회원수는 7명 이상 10명 이하이다. 연초에 예약할 때는 1박에 2만원씩이다. 그러나 해약할 때는 1안당 4만원의 벌칙금을 내야 하고 추가할 때는 1인당 정상요금인 1박에 4만원씩을 내야 한다. {7,8,9,10}명이 모집될 확률은 각각 1/4이라 할 때 회사가 9명분을 예약한 경우 지불해야 할 기대값은 얼마인가?
(힌트) 7명밖에 모집이 안되었을 경우는 2명을 취소해야 한다. 10명이 모집되었을 때는 1명을 추가해야 한다. 7,8,9,10명 왔을 때를 생각해서 기대값을 구해야 한다.
5. 어떤 사람이 5만원을 가지고 동전 던지기 내기를 하였다. 앞면이 나오면 만원을 받고 뒷면이 나오면 만원을 주어야 한다. 동전을 4번 던진 뒤 손에 쥐고 있을 돈의 기대값을 구하라.