알기 쉬운 집합
"집합이란 무엇인가?" 라는 질문에 대답하기란 쉬운 일이 아니다. 집합이 너무 커지면 집합이 되지 않을 수 있기 때문이다. 이런 어려움을 제거하기 위해서 공리론적 접근을 해야 하지만 여기서는 직관적인 정의(naive set theory)를 받아드려 집합을 소개하는 것을 목적으로 한다.
집합론은 수학에 있어서 필수적인 역할을 하고 있다. 수학적인 연구를 계속하고 확장하는데 는 수학의 모든 분야에 집합론은 없어서는 안 될 도구가 되었다. 그 뿐 아니라 수학 외에도 사회학, 정치학, 경제학, 심지어 신학에 이르기까지 학문적인 탐구에는 집합은 필수적인 요소가 되었다. 모든 통계적인 처리를 요구하고 있는 현상의 분석에는 집합론을 필요로 하고 있다. 이유는 통계는 집합론을 기초로 해서 발전시킨 확률론을 이용하지 않고는 해결할 수 없기 때문이다. 그러나 집합의 개념은 너무 필수적이고 광범위해서 획일적인 용어의 정의로는 그 다양한 내용을 다 정의할 수 없게 되었다. 그래서 집합을 무정의 용어로 받아드릴 수밖에 없게 되었다. 그러나 우리는 집합이라면 무엇을 뜻하는지 거의 알고 있다. 다만 굳이 집합을 직관적 의미로 정의한다면 집합이란 "우리의 직관 또는 사고의 대상으로서 서로 뚜렷이 구분되는 이른바 원소(element)들을 전체로 보는 하나의 모임"이라고 소박하게 말할 수밖에 없다. 이런 표현 방법은 우리의 철저한 사고에 만족스럽지 못한 것을 인정한다.
수학에서 말하는 집합이란, 이를테면 ‘우리 반 학생의 모임’, ‘5보다 크고, 10보다 작은 자연수의 모임’과 같이 어떤 조건에 따라 일정하게 결정되는 요소의 모임을 말하며, 그 요소를 집합의 원소라고 한다. 즉, 집합에 속하는 원소는 구체적인 사물, 또는 추상적으로 생각된 것이라도 무방한데, 명확히 규정된 것으로서, 다음 두 조건을 만족시키는 모임이다. ① 어떤 원소가 그 집합에 들어 있는지, 들어 있지 않은지를 식별할 수 있다. ② 그 집합에서 두 원소를 취했을 때, 그 두 원소가 서로 같은지, 같지 않은지를 식별할 수 있다. 예컨대, ‘큰 수의 모임’이라든가 ‘착한 사람들의 모임’은 집합이 될 수 없다.
보통 a가 집합 A의 원소일 때, a는 집합 A에 속한다. 또는 A가 a를 포함한다고 하고, 기호로 a∈A 또는 A∋a와 같이 나타낸다. 집합 A의 원소가 a,b,c,…일 때, A＝{a,b,c,…}로 표시하고(원소 나열형), 또 성질 Ω(x)를 가지는 대상 x로 이루어진 집합을 {x|Ω(x)}로 표시한다(조건 제시형). 집합 A가 유한개의 원소로 이루어졌을 경우 A를 유한집합, A가 무한개의 원소를 포함할 경우, A를 무한집합이라고 한다.
문제 1.
가. 다음 집합을 원소 나열형으로 써라.
(1) 이번 학기에 등록한 과목의 이름으로 된 집합, A.
(2) 한 주일의 이름으로 된 집합, B.
(3) 자연수로서 14보다 작은 홀수의 집합, C.
(4) D= {x : x는 4계절의 이름}
(5) E = {x : x는 9보다 작은 자연수의 제곱}
(6) F = {x : x는 자연수 3< x2 < 17 }
나. 다음이 맞으면 O, 틀리면 X표를 하라.
(1) 대전신학교 ∈ D ( ) (2) 81 ∈ E ( ) (3) π ∈ F ( )
집합 A의 원소가 모두 집합 B의 원소일 때 A를 B의 부분집합(subset)이라 하고, A⊂B 또는 B⊃A로 나타낸다. A⊂B이며 B⊂A일 때, A,B는 같다고 하고 A＝B로 나타낸다. 또 A⊂B이고 A≠B일 때 A를 B의 진부분집합이라고 한다. 집합을 생각할 때, 그 대상의 전체 범위를 전체집합이라 하고 보통 U로 쓴다. 임의의 집합 A는 전체집합 U의 부분집합이다. 또, 유한집합의 극단적 경우로서, 원소를 하나도 포함하지 않은 집합(즉, 어떤 대상 a에 대해서도 a??A가 되는 집합 A)도 생각할 수 있으며, 이것을 공집합이라 하며, ø 또는 { }라는 기호로 나타낸다. 이를테면 A＝{x : x는 2x＝3을 만족하는 자연수}이면, A＝ø이다. A에 속하고 B에는 속하지 않는 원소의 집합을 A－B로 나타내고 A에 대한 B의 차집합이라 한다. A에 속하지 않는 원소의 집합을 A의 여집합 또는 보집합이라 하고, A'로 나타낸다. 즉, A'＝U－A이다. 두 집합 A, B에 대하여, A에 속하거나 B에 속하는(A, B 중 적어도 어느 한 쪽에 속하는) 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 합집합(合集合)이라 하고, 기호로 A∪B와 같이 나타낸다. 또, A에도 속하고 B에도 속하는 원소로 이루어진 집합을 A와 B의 교집합(交集合)이라 하고, 기호로 A∩B와 같이 나타낸다.
문제 2.
가. 다음이 맞으면 O, 틀리면 X표를 하라.
(1) 월요일 ⊂ B ( ) (2) 월요일 ?? B ( ) (3) {월요일 } ⊂ B ( )
(4) {월요일} ?? B ( ) (5) { 1, 2, 3, 4} ⊂ C ( )
(6) {1} ⊂ E ( ) (7) {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,} = C ( )
(8) 0 = ø ( ) (9) 5??{5} ( ) (10) 5 = {5} ( ) (11) ø??{ } ( )
(12) ø⊂ { } ( ) (13) {4} ⊂ {{4}} ( )
나. F에는 각각 다른 부분집합이 몇 개나 되는가?
다. G = { 1, 3, 5, 7, 9}, H = { 1, 2 ,3, 4, 5}이다. 다음을 원소 나열형으로 써라.
(1) G?? H (2) G?? H (3) G - H (4) G - H (5) G??ø (6) G ??ø
(7) G'?? H (8) G?? H'
집합 A와 B의 원소 사이에 1-1 대응관계가 성립하면(A의 모든 원소에 대해 B의 유일한 원소가 대응되며 B의 각 원소는 A에 대응하는 유일한 짝이 있을 때)집합 A와 B는 서로 대등하다(equivalent)고 말하고 A∼B로 표시한다. A=B이면 A∼B이다.
문제 3.
가. 다음이 맞으면 O, 틀리면 X표를 하라.
(1) { △, *, # } ∼ {1, 2, 3} ( ) (2) {1, 2, 3} = { 2, 3, 1} ( )
(3) { a, c, e} = { a, a, c, c, e} ( ) (4) { 1, 2, 3, ...10} ∼ { x : 10≤ x < 20} ( )
(5) {x : x 는 모든 자연수} ∼ { x : x 는 모든 자연수 중 짝 수의 집합} ( )
벤 다이어그램(Venn Diagrams)
집합론의 여러 가지 아이디어를 공부하는데 편리한 방법의 하나는 밴 다이어그램이라고 불리는 그림을 통해 직관적으로 이해하는 것이다. 가상할 수 있는 상대적 전체집합 U는 직사각형으로 부분집합은 그 직사각형 내부의 원으로 표시한다. 지금까지 공부한 내용들을 밴 다이어그램으로 그려보면 다음과 같다.
문제4.
가. 다음 집합을 밴 다이어그램으로 나타내라.
(1) A ∪ B (2) (A' ∪ B)' (3) A ∩ B' (4) A - B
나. 다음 등호의 우편과 좌편의 밴 다이어그램을 그려서 두 그림을 비교하여라.
(1) (A ∪ B)' = A' ∩ B' (2) (A ∩ B)' = A' ∪ B'
다. 한 반에 33명이 있는데 21명이 국어를 택하고 19명이 자연과학을 택했다면 두 과목을 다 택한 사람은 몇 명이나 되는가?
라. 한 반에 100명의 학생이 있는 학급에서 다음과 같은 것을 알게 되었다. 다음 물음에 답하라.
26명: 자연과학 선택 65명: 영어 선택
65명: 심리학 선택 14명: 자연과학과 영어 선택
13명: 자연과학과 심리학 40명: 심리학과 영어
8명: 3과목 다 선택
(1) 자연과학만 택한 사람은 몇 명이나 되는가?
(2) 3과목 하나도 선택하지 않은 사람은 몇 명이나 되는가?
(3) 자연과학과 심리학은 택했지만 영어는 택하지 않은 사람은 몇이나 되는가?
(4) 자연과학이나 영어를 택하지 않은 사람은 몇이나 되는가?