아르키메데스의 원기둥의 겉넓이와 부피에 대해서

 

먼저 당시까지 그리스 사람들이 입체의 부피와 겉넓이에 대하여 무엇을 알고 있었던가를 살펴보고자 한다. 유클리드는 두 구의 부피의 비는 각 구의 지름의 3제곱의 비와 같다는 것을 증명했었다. 이것은 또 구의 부피를 V, 지름을 D라 하면 어떤 구가된다 할지라도 일정한 상수 m이 존재해서 언제나 다음과 같은 등식이 성립한다는 말과 같다.

                                                                        

이것이 유클리드가 구의 부피에 대하여 제공한 정보의 전부였다. 또한 그는 구의 겉넓이에 관해서는 전혀 언급하지 않았다. 그러나 아르키메데스는 원기둥의 겉넓이를 내는 방법을 언급하였다.

 

명제 13.  위 아래 면의 넓이를 뺀 직원기둥의 겉넓이는, 직원기둥의 밑면의 지름과 그 높이 사이의 비례중앙을 지름으로 갖는 원의 넓이와 같다.

                                      

                                   


    이 명제를 오늘날의 표현을 빌면 다음과 같은 것을 말하 고 있다.

                                                           또는 

여기서 반지름이 x 인 원의 넓이는 이므로 쉽게 다음과 같이 원기둥의 표면적을 구할 수 있다.

                  위 아래 면의 넓이를 뺀 원기둥의 표면적==


   또 아르키메데스는 구의 겉넓이에 대해서도 언급했다.

명제33   임의의 구의 겉넓이는 구의 대원의 넓이의 4배이다.

       반지름이 r인 구를 생각하면 그 대원의 넓이는 이므로

            구의 겉넓이 = 4 이 된다.


    다음은 구의 부피에 대한 것이다.

명제 34.  구의 부피는, 대원을 밑면으로 하고 구의 반지름을 높이로 하는 원뿔의 부피의 4배와 같다.

 

 

   구의 반지름을 r라 하면 대원의 반지름도 r가 되고 높이   도 r가 된다. 따라서

         원뿔의 부피=  따라서 명제 34에 의해 구의 부피   이다.

 

 

   구의 반지름을 1라고 하고 이 구가 직원기둥에 내접해 있다고 생각하자. 이 때 원기둥의 겉넓이와 구의 겉넓이늬 비는 어떻ㅔ 되는가?

 


  원기둥의 겉넓이 =,   구의 겉넓이   ,   따라서

                                        원기둥의 겉넓이 : 구의 겉넓이 = 3 : 2 이다.

                 또한   원기둥의 부피= ,  구의 부피 , 따라서

                                        원기둥의 부피 : 구의 부피 = 3: 2 이다.

 

아르키메데스는 자기의 묘비에 구가 원기둥에 내접해 있는 그림을 색여 넣도록 했다고 한다.